2 cентября - 101 год со дня рождения академика Израиля Моисеевича Гельфанда (1913-2009). Родился в бедной семье в местечке под Одессой. Израиль Моисеевич так рассказывал о своих ранних годах: «Я родился в маленьком городке, в котором была лишь одна школа. Мой учитель математики был очень добрым человеком, я никогда не встречал лучшего учителя, хотя я знал больше, чем он, и он осознавал это. Мои родители не имели возможности покупать мне математические книги – у них не было средств для этого. Но мне повезло. Когда мне было 15 лет, родители повезли меня в Одессу делать операцию аппендицита. Я сказал, что не пойду в госпиталь, если они мне не купят книгу по математике».И книга была куплена. Это был учебник по математическому анализу. Он радикально изменил представление 15-летнего юноши о математике. До этого момента он думал, что существуют две различные математики: алгебра и геометрия. Но когда юноша увидел ряд, представляющий синус (ряд Маклорена), он осознал, что между этими науками нет пропасти: «Математика предстала передо мной в своем единстве. И с той поры я понял, что разные области математики вместе с математической физикой образуют единое целое».В девятом классе (в 1928 году, в период коллективизации) Гельфанд был исключен из школы как дети «нетрудового элемента» (отец Гельфанда в это время управлял кустарной мельницей).Не имея возможности закончить среднее образование, в силу тяжёлых семейных обстоятельств, И.М. Гельфанд в феврале 1930 года уехал к дальним родственникам в Москву, где некоторое время был безработным, занимался подённой работой, был контролёром в Ленинской библиотеке, где занимался самообразованием. В 1931 году начал посещать вечерние лекции по математике в нескольких учебных заведениях, в том числе в Московском государственном университете.Вскоре И. М. Гельфанд в порядке исключения был принят ассистентом кафедры математики Вечернего химико-технологического института. Уже через год без формального высшего образования он стал аспирантом А. Н. Колмогорова (1932—1935) и одновременно с 1932 года начал преподавать в МГУ. Как писал другой ученик Колмогорова В. И. Арнольд, Колмогоров говорил, что есть только два математика, в разговоре с которыми он «ощущал присутствие высшего разума», то есть чувствовал, что собеседник существенно умнее, и один из них — И. М. Гельфанд.Вот как вспоминал о И.М. Гельфанде один из его учеников, профессор В.М. Тихомиров: "К особенностям творчества Гельфанда следует отнести его поразительную разносторонность. Нелегко назвать какую-либо из фундаментальных отраслей математики, в которых Гельфанд не имел бы основополагающих результатов. Он был всемирно признанным мировым лидером в функциональном анализе, теории групп Ли и теории представлений, и невозможно не отметить его вклада в алгебру, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, теорию дифференциальных уравнений, математическую физику, численный анализ, приложения к нефизическим наукам. Среди секций математических конгрессов лишь по математической логике у Гельфанда нет исследований, которые могли бы дать ему право на доклад на математическом конгрессе.Метод работы Гельфанда — диалогический. Он почти никогда не работал в одиночестве, а со своими студентами, сотрудниками и коллегами. Израиль Моисеевич имеет очень большие заслуги в области математического просвещения в нашей стране. Он был среди основателей школьных математических кружков при Московском университете; он принимал активнейшее участие в проведении первых Московских математических олимпиад; он основал Заочную математическую школу; он был инициатором и основным соавтором многих замечательных брошюр, обращенных к школьникам; он был среди основоположников Второй московской математической школы.В полувековой юбилей школы, в 2006 г., Гельфанд обратился к школьникам с приветствием. Там есть такие слова: «Я сам многому научился, работая с ребятами во Второй школе. Работая со школьниками, я лучше понял, что нельзя интересоваться одной математикой и что математика это не спорт. Математик — тот, кто понимает. Надо не просто уметь решать трудные задачи, а понимать математику. Я хочу отметить четыре важнейшие черты, общие для математики, музыки и других наук и искусств: первое — красота, второе — простота, третье — точность и четвертое — безумные идеи».Гельфанд обладал редчайшим даром активного интереса к людям, особенно к детям. И ещё об одном нельзя не сказать: очень многим Израиль Моисеевич оказывал существеннейшую помощь в трудные минуты их жизни. Если речь в даже не очень большой компании заходит о Гельфанде, найдется человек, который расскажет, как Израиль Моисеевич по первому известию о том, что над чьей-то жизнью нависла угроза, немедленно, отложив всё, бросался организовывать для него самую квалифицированную врачебную помощь. Число людей, которые обязаны ему спасением своей жизни, очень велико».Помимо математики, Гельфанд имел выдающиеся достижения в медицине и биологии. Такая широта не имеет примеров в науке последнего времени. Гельфанд – автор многочисленных работ по нейрофизиологии волевых движений, клеточной миграции в тканевых культурах, протеомике (классификации третичной структуры белков) и алгоритмизации клинической работы врачей.Курьезно, что когда появились работы Гельфанда по биологии, некоторые специалисты интересовались, имеет ли этот биолог какое-либо отношение к знаменитому математику Гельфанду.Гельфанд писал: «По моей внутренней философии – ранее бессознательной, а теперь четкой – я считаю, что математика, помимо своего прикладного – в физике, инженерии, компьютерах и так далее, – имеет значение и в области чистого интеллекта. Это хорошо понимали греческие философы, но это понимание было утрачено в последнем, технократическом столетии. Для человеческого интеллекта правильное отношение к математике играет такую же роль, как восприятие музыки, поэзии и других недоходных или малодоходных областей человеческой деятельности. Поэтому я всегда старался, чтобы красота математики доходила и до тех людей, которые никогда в жизни больше заниматься ею не будут. Организованную мною больше 30 лет назад в России заочную математическую школу окончили более 70 тысяч человек, большинство из них не стало профессиональными математиками, но убедилось в ее неизмеримой красоте!»В 1992 году Гельфанд организовал в США «Gelfand Outreach Program» (позже «Gelfand Correspondence Program in Mathematics») – аналог Заочной математической школы для старшеклассников, которой он руководил в Москве. У GOPM уже более 1000 выпускников и сотни учащихся. Хотя многие выпускники за 35 лет её существования стали известными математиками, школа не навязывает своим студентам математическую карьеру. Её цель - показать, что математика - увлекательный предмет, с помощью которого можно решать разнообразные проблемы. И для этого совсем не обязательно быть математиком."
3 сентября - 106 лет со дня рождения академика Льва Семёновича Понтрягина (1908-1988). В 14 лет Лев потерял зрение в результате несчастного случая (взорвавшийся примус вызвал сильнейший ожог лица), сама жизнь его была настолько в серьёзной опасности, что й хирургической операцией вызвало сильнейшее воспаление глаз и привело к полной слепоте. Для отца Понтрягина трагедия сына стала жизненной катастрофой, он быстро потерял трудоспособность, последние годы жизни он находился на инвалидности и скончался в 1927 году от инсульта в присутствии сына.После смерти супруга Т. А. Понтрягина посвятила себя сыну. Не обладая никаким специальным математическим образованием, она вместе с сыном взялась за обучение математике, вместе с ним прошла подготовку к поступлению в Университет, а после зачисления (1925 год) помогала сыну-студенту. Так, Т. А. Понтрягина выучила немецкий язык и много читала сыну, иногда в день сотнями страниц специальный текст научных статей германских учёных.Благодаря этому, при полной слепоте Лев Понтрягин, окончив среднюю школу, получил высшее образование на математическом отделении физико-математического факультета Московского университета (1929).Показателен следующий случай. Идёт лекция профессора Николая Николаевича Бухгольца, все слушают не очень внимательно, вдруг голос Понтрягина:Профессор, вы ошиблись на чертеже!Оказывается, он, будучи слепым, «слышал» расстановку букв на чертеже и понял, что там не всё в порядке.Л. С. Понтрягин начал свою научную работу очень рано, в возрасте восемнадцати лет, будучи студентом второго курса Университета.В 1930 году Понтрягина зачислили доцентом кафедры алгебры и сотрудником НИИ математики и механики МГУ. В 1935 году в СССР были восстановлены учёные степени и звания и ему без защиты Высшей аттестационной комиссией была присуждена степень доктора физико-математических наук, в том же году он был утвержден в звании профессора.С 1934 года Понтрягин начал работать в МИАН имени В. А. Стеклова, с 1939 года — заведующий отделом МИАН, вместе с этим с 1935 года он — профессор МГУ.Принципом своей научной работы Понтрягин выбрал одно высказывание А. Пуанкаре (цитируя его по памяти): «Понять чужую математическую работу — это значит ощутить её как бы сделанную самим».Показательно избрание Л. С. Понтрягина членом Московского математического общества, произошедшее в очень молодом возрасте. Согласно правилам, для того чтобы быть избранным, нужно было сделать на заседании общества доклад. В начале 1930-х годов П. С. Александров, научный руководитель Понтрягина, сделал ему такое предложение. Была выбрана одна из его многочисленных работ, и её название включили в повестку заседания. Доклад на обществе Понтрягин считал за большую честь и стал тщательно к нему готовиться. Выяснилось, что в доказательстве результата имеется ошибка. После суток её поисков Понтрягин пришёл в полное отчаяние; он позвонил Александрову и сообщил о своей беде. Тот сказал: «Ничего. Мы изменим название доклада, и Вы расскажете другую работу». Через час после этого ошибка Понтрягиным была исправлена, работа была доложена на заседании общества, и он стал его членом.Прикладными разделами математики Понтрягин занялся в значительной степени из этических соображений, считая, что его продукция должна найти применение при решении жизненно важных проблем общества.По воспоминаниям учеников Понтрягина, он был необыкновенным другом. Он не просто соглашался помочь — чужие проблемы он усваивал, как свои, всё время думал, как разрешить их, пробовал различные пути, не жалея ни сил, ни нервов, не боясь испортить отношения с влиятельными лицами. В борьбе с физическим увечьем формировался его характер. Он не пользовался приспособлениями для слепых — к примеру, книгами с особым шрифтом. Ещё студентом лекции в университете он не записывал, а запоминал и потом ночами, лежа в постели, курил и, восстанавливая услышанное в памяти, продумывал их. Предпочитал ходить один, без помощи других, падал, ушибался, у него постоянно были рубцы и ссадины на лице. Не боялся экспериментов в жизни. Так в 1950-е годы он под руководством Е. Ф. Мищенко научился кататься на лыжах и полюбил лыжные прогулки, потом при участии В. Г. Болтянского научился кататься и на коньках, плавал на байдарке. Л. С. Понтрягин сумел полностью избежать психологии в чём-то неполноценного человека (из близко знавших его никто никогда не думал о нём как о слепом).
8 сентября - 426 лет со дня рождения французского математика Марена Мерсенна (1588-1648). Мерсенн был богословом, но внес вклад и в точные
науки, в первую очередь в физику. Исследовал различные физические явления, наиболее значительных результатов добился в музыкальной акустике. Мерсенн впервые определил скорость распространения звука в атмосфере, предложил схему зеркального телескопа. Мерсенн много путешествовал, совершил несколько путешествий по Европе, побывал в Италии, Германии, Голландии и других странах. Во время поездок приобретал новые знакомства, завязывал переписку, слушал лекции в местных университетах. Путешествия он использовал также для знакомства с наиболее образованными людьми своего времени. Будучи сам прекрасно образованным для своего времени, Мерсенн состоял в переписке с Г. Галилеем (перевёл его "Механику"), X. Гюйгенсом, Б. Паскалем, Э. Торричелли, П. Ферма и другими. Став до некоторой степени центральной фигурой, объединяющей учёных разных стран в области физико-математических наук, своей деятельностью Мерсенн выполнял, в некотором смысле, функции не существовавшей ещё в его время Парижской Академии наук. В течение его продолжительного пребывания в Париже у него еженедельно происходили собрания математиков и физиков, с целью взаимного обмена идеями и мыслями, а также информирования о результатах предпринятых исследований (четверги Мерсенна). Позднее из этого кружка образовалась Парижская Академия наук. В математике имя Мерсенна связано с так называемыми числами Мерсенна, имеющими вид Мр=2р-1, где р - простое число. Конечно, не все числа Мерсенна простые. Например, хотя М2=3 или М7=127 - простые, М11=2047=23*89. Заметим, что иногда числами Мерсенна называют все числа вида 2n-1, где n - натуральное число. Нетрудно доказать, что если n-составное, то и 2n-1 - тоже, поэтому простые числа Мерсенна можно встретить, только взяв простой показатель степени двойки.В 1648 году Мерсенн выпустил труд "Cogitata Physica-Mathematica", в котором высказал предположение, что числа вида 2p — 1 должны быть простыми для показателей 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 и составными для всех остальных натуральных чисел, не превосходящих 257. Откуда взялась такая гипотеза, доподлинно неизвестно — современники сомневались, что Мерсенн мог разобрать все эти случаи вручную, да и он сам, говорят, это признавал. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М19 и М31. То,что М31 - простое, установил в 1750 году Леонард Эйлер, а в 1876 году доказал, что простым является число М127=170141183460469231731687303715884105727. Но самый поразительный случай произошел в 1883 году, когда русский священник Иван Михеевич Первушин, не пользуясь никакими вычислительными устройствами, установил, что М61=2305843009213693951 является простым, а ведь 61 не значилось в списке Мерсенна. Уже в 20 веке было установлено, что М67 и М257 - составные. На данный момент неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна. Возможности современных компьютеров позволяют находить все новых гигантов. Совсем недавно было обнаружено 48-е простое число Мерсенна. Мы здесь не приводим его, так как запись его в пять раз длинее, чем "Война и мир". Так же, открытой проблемой остается и вопрос о простоте числа Мк, где к=М61.
14 сентября - 123 года со дня рождения академика Ивана Матвеевича Виноградова (1891-1983). Он принадлежит к патриархам отечественной науки, высшее образование он получил в Санкт-Петербургском университете, который закончил в 1914 г., в 1920 г. - уже профессор, а 1932 г. И.М. Виноградов возглавил флагман отечественной математической науки Математический институт АН СССР им. В.А. Стеклова, находившийся в то время в Ленинграде.Областью научных интересов Виноградова была теория чисел. Специфика задач этой области математики заключается в элементарности звучания их постановок и в чрезвычайной трудности их решения, для примера укажем знаменитую теорему Ферма. Виноградову принадлежит фундаментальный вклад в развитие теории чисел и он по праву считается крупнейшим специалистом в этой области. Им был разработан метод тригонометрических сумм, известный теперь как метод Виноградова. Применение этого метода к классической задаче теории чисел - проблеме Варинга (поставленной еще в 1770 г.) - возможности представления любого целого числа в виде суммы ограниченного числа некоторых степеней целых чисел (четырех квадратов, девяти кубов и т.д.) позволило Виноградову в 1934 г. найти весьма точную оценку для необходимого числа слагаемых. В 1937 г. им были получены очень глубокие результаты и в относящейся к 1742 г. проблеме Гольдбаха (возможность представления нечетных целых чисел суммами трех простых чисел). Именно, ему удалось показать, что достаточно большое нечетное число есть такая сумма (теорема Виноградова-Гольдбаха). Заметим, что некоторые предшественники Виноградова пытались проверкой найти контрпример возможности такого представления. Сначала Кантор проверил все числа до 1000, затем Обри до 2000, а Миле в 1911 г. до 9.000.000 (Девять миллионов!). В 1912 году на международном математическом конгрессе в Кембридже крупный специалист в области теории чисел Э. Ландау констатировал, что «проблема Гольдбаха превосходит силы современной математики». И вот в 1937 году, Иван Матвеевич, улучшив свой "новый метод в аналитической теории чисел", показал, что всякое нечётное число, большее некоторого числа N, является суммой не более, чем трёх простых. Отсюда для чётных чисел вытекает, что они являются суммой не боле, чем четырёх простых. Результат Виноградова облетел весь мир, и Лондонское королевское общество избрало Ивана Матвеевича Виноградова своим членом. Виноградов Иван Матвеевич решил более трудную проблему, чем проблема Гольдбаха для нечетных чисел. Он ввел суммы трёх простых чисел. Из этой приближенной формулы решения проблемы Гольдбаха для нечетных чисел он получил как частное следствие. Среди рассмотренных Виноградовым задач также проблема распределения простых чисел и распределения простых чисел близнецов, решения диофантовых уравнений, оценки функций, поведение степенных вычетов и невычетов. Им были высказаны 4 гипотезы о центральных проблемах аналитической теории чисел, которые и много лет спустя были стимулом развития аналитической теории и породили большое число научных статей на эту тему. Им получены общие теоремы о количестве точек с целыми координатами сначала в плоских областях (в круге, под гиперболой и других), а затем и в пространственных областях (шаре). Ряд результатов Виноградова являются окончательными: доказано, что далее в этом направлении двигаться нельзя, некоторые продолжают оставаться лучшими достижениями на сегодняшний день. В своей работе Виноградов сочетал элементарные методы и методы, выходящие за рамки развиваемых им теорий. Применяемые им приемы как средства исследования получали порой специальные названия, примером тому "стаканчики" Виноградова. Первая научная работа Виноградова вышла в свет в еще в 1917 г. До конца своих дней Виноградов не оставлял занятий наукой, хотя, конечно, с возрастом он не мог работать столь интенсивно, как в молодые годы, когда в год выходило по 10-12 его статей. Показателен следующий пример, в возрасте 90 лет Иван Матвеевич сетовал, что вот-де год прошел, а отчитываться ему за научные исследования нечем. Редактирование своих трудов и совершенствование своих методов исследования он научным результатом не считал.И.М. Виноградов своим примером опровергал многие мифы о математиках, например, он обладал фантастической физической силой, о ней ходили легенды. Известно, например, что при переезде на новую квартиру он в одиночку занес рояль (!) на 4-ый этаж. Одной рукой за ножку поднимал над головой стул с сидящим на нем человеком. Во время войны в Казани на разгрузке дров выбирал себе самые толстые трехметровые бревна, погрузив с помощью грузчиков их себе на плечи, по сходням нес бревна на берег. Любил рубить на дрова (и будучи уже в преклонном возрасте) большие пни, свезенные ему соседями по даче. Очень любил борьбу, не успокаивался, пока не выходил победителем в схватках. Имел очень твердое рукопожатие, часто в продолжение научных бесед устраивал состязания кто кого пережмет рукой (теперь это называется армрестлингом). Известен случай, когда он удерживался указательным пальцем, в то время как его тянуло несколько человек.И.М. Виноградов имел невероятную память. Про любую реку мира, какую-нибудь Тунгуску он моментально мог сказать, какая у нее длина и сколько кубометров воды в секунду проходит через ее сечение. Исторические даты разных событий во все времена он помнил наизусть. Уже в зрелом возрасте взявшись изучать английский язык, выучил все английские слова по толстому словарю (хотя складывать их так и не научился).Виноградов – единственный советский математик, в честь которого был организован дом-музей ещё при жизни. Ему дважды присуждалось звание Героя Социалистического Труда. Виноградов пользовался большим авторитетом в отделении математики АН СССР и во многих отношениях был неформальным главой советских математиков.
17 сентября - 188 лет со дня рождения выдающегося немецкого математика Георга Фридриха Бернхарда Римана (1826-1866). Риман родился в многодетной семье лютеранского пастора. У отца не было денег на образование шестерых своих детей, и он обучал их сам. Но способности юного Георга проявились очень рано, и отец вынужден был нанять сыну учителя, который, впрочем, тоже быстро понял, что мальчик гораздо умнее его самого, и с облегчением вздохнул, когда в 14 лет Георг поступил в школу. Отец хотел, чтобы сын стал священником, но замкнутость и робкий характер юноши помешали претворению этих планов в жизнь. Трудности при выступлениях перед любой, даже очень маленькой и благожелательной аудиторией, преследовали Римана всю жизнь. Он не мог выступить с лекцией или докладом, если не посвящал подготовке многие дни. Первая серьезная встреча Римана с математикой произошла благодарая директору института, в котором учился будущий гений. Видя интерес Римана и лёгкость, с которой ему даётся математика, директор дал ему прочитать книгу Лежандра по теории чисел из своей личной библиотеки. Спустя неделю Риман вернул книгу и сказал, что она привела его в полный восторг. Директор был поражен - в такой короткий срок изучить книгу в 850 страниц, содержащую довольно сложный раздел математики, было, по его мнению, просто невозможно. Годы спустя Риман попытался улучшить формулу для расчёта количества простых чисел, приведенную в работе Лежандра. В результате родилась знаменитая гипотеза Римана - одна из главных задач современной математики, не решенная до сих пор. Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит награду в один миллион долларов США.
В 19 лет, следуя воле отца, Риман поступает в Гёттингннский университет для изучения филологии и богословия. Он хотел как можно скорее закончить учебу и помгать семье. Однако, начав посещать лекции по математике и самостоятельно знакомиться с трудами Гаусса, он решает связать свою жизнь с этой наукой и переводится в Берлинский Университет, где его учителями были такие известные математики, как Дирихле, Якоби, Штейнер и Эйзенштейн. Именно в сотрудничестве, а вернее, в соперничестве с последним родилась одна из важнейших теорий ХIХ века - теория функций комплексного переменного.В 1851 году Риман защищает диссертацию «Основания теории функций комплексной переменной», где впервые было введено понятие, позже получившее известность как риманова поверхность.
В 1851 году Риман защищает диссертацию «Основания теории функций комплексной переменной», где было впервые введено понятие, позже получившее известность как риманова поверхность.
С 1854 года Бернхард Риман работает в Гёттингенском университете. За следующие 10 лет он преобразовал сразу несколько разделов математики.
Чтобы претендовать на должность экстраординарного профессора, Риман по уставу должен был выступить перед профессорским составом. В 1857 году присутствии Гаусса Риман читает исторический доклад «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», с которого ведёт своё начало риманова геометрия. Доклад, впрочем, не помог – Римана не утвердили. Однако текст выступления был опубликован (хотя и с большим опозданием – в 1868 году, уже после смерти учёного), и это стало эпохальным событием для геометрии.
В этом знаменитом докладе Риман определил общее понятие n-мерного многообразия и его метрику в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы. Далее Риман обобщил гауссову теорию поверхностей на многомерный случай; при этом был впервые введён тензор кривизны и другие понятия римановой геометрии. Существование метрики, по Риману, объясняется либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи – здесь он предвосхитил общую теорию относительности. Альберт Эйнштейн писал:
Риман первый распространил цепь рассуждений Гаусса на континуумы произвольного числа измерений, он пророчески предвидел физическое значение этого обобщения евклидовой геометрии.
Риман также высказал предположение, что геометрия в микромире может отличаться от трёхмерной евклидовой геометрии:
Эмпирические понятия, на которых основывается установление пространственных метрических отношений, – понятия твёрдого тела и светового луча, по-видимому, теряют всякую определённость в бесконечно малом. Поэтому вполне мыслимо, что метрические отношения пространства в бесконечно малом не отвечают геометрическим допущениям; мы действительно должны были бы принять это положение, если бы с его помощью более просто были объяснены наблюдаемые явления.
В другом месте этой же работы Риман указал, что допущения евклидовой геометрии должны быть проверены также и «в сторону неизмеримо большого», то есть в космологических масштабах. Глубокие мысли, содержащиеся в выступлении Римана, ещё долго стимулировали развитие науки.
Риман является создателем геометрического направления теории аналитических функций. Он ввёл носящие его имя поверхности (римановы поверхности) и разработал теорию конформных отображений.
При этом Риман развивает общую теорию многозначных комплексных функций, построив для них «римановы поверхности». Он использует не только аналитические, но и топологические методы; позднее его труды продолжил Анри Пуанкаре, завершив создание топологии.
Всё же Бернхард Риман был принят приват-доцентом Гёттингенского университета, где читает курс абелевых функций. На его первую лекцию, говорят, пришло всего лишь восемь человек, а на следующую и того меньше. Дело в том, что Риман ощущал сначала известные трудности при чтении лекций. Но спустя некоторое время он писал:
Моя первоначальная застенчивость уже несколько прошла: я привыкаю больше думать о слушателях, чем о себе, и научился читать по их лицам, могу ли продолжать лекцию или должен еще раз вернуться к рассматриваемой проблеме…
Застенчивость Римана вскоре совершенно прошла, и, благодаря его тщательной подготовке к лекциям, он стал добиваться хороших результатов в обучении студентов. В своих лекциях он использовал часто нигде не опубликованные материалы.
В 1857 году Риман публикует классические труды по теории абелевых функций и аналитической теории дифференциальных уравнений.
Работа Римана «Теория абелевых функций» была важным шагом в бурном развитии этого раздела анализа в XIX веке. Риман ввёл понятие рода абелевой функции, классифицировал их по этому параметру и вывел топологическое соотношение между родом, числом листов и числом точек ветвления функции.
Вслед за Коши, Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввёл своё определение – интеграл Римана. Развил общую теорию тригонометрических рядов, не сводящихся к рядам Фурье.
В 1859 году, после смерти Дирихле, Бернхард Риман – ординарный профессор Гёттингенского университета. Читает лекции по математической. Вместе с Дедекиндом совершает поездку в Берлинский университет, где общается с Вейерштрассом, Куммером, Кронекером. После чтения там знаменитой работы «О числе простых чисел, не превышающих заданной величины» избран членом Берлинской академии наук.
Исследование Риманом распределения простых чисел имело большой резонанс. Он дал интегральное представление дзета-функции (ζ-функция Римана)
ζ(s) = 1–s + 2–s + 3–s + ... ,
исследовал её полюса и нули, вывел приближённую формулу для оценки количества простых чисел через интегральный логарифм.
Исследования Римана в области механики относятся к изучению динамики течений сжимаемой жидкости (газа) – в частности, сверхзвуковых. Риман стал одним из основоположников классической газовой динамики. Именно ему механика обязана понятием об ударных волнах. Явление образования ударных волн в потоке сжимаемого газа впервые было обнаружено не экспериментально, а теоретически – в ходе проводившегося Риманом изучения решений уравнений движения газа.
В 1862 году Бернхард Риман женился на Эльзе Кох, подруге покойной сестры. У них родилась дочь Ида. К несчастью, вскоре после женитьбы Риман, никогда не отличавшийся крепким здоровьем, простудился и серьёзно заболел плевритом. Оправиться от этой болезни ему было не суждено.
В последние годы своей недолгой жизни Риман был удостоен многочисленных почестей, получил признание ведущих ученых, был избран членом различных научных обществ, в том числе Лондонского Королевского общества и Французской Академии наук.
Последние четыре года жизни учёный провел в Италии.
20 июля 1866 года Риман скончался от туберкулёза в возрасте 39 лет.
Некоторые математические идеи Римана вошли в науку, и носят имя автора. Не каждому ученому выпала такая честь. Даже очень далекие от математики люди слышали о так называемом Римановом пространстве. Предложенные великим математиком Бернхардом Риманом идеи и методы раскрыли новые пути в развитии математики, и нашли применение в механике и физике. И, несмотря на то, что он написал немного работ, а напечатал еще меньше, любая из них отличалась огромной важностью и множеством новых идей.
Некоторое понятие о том, как много сделал Риман для развития математики, может дать перечень математических объектов, носящих его имя:
гипотеза Римана:
обобщенная гипотеза Римана
большая гипотеза Римана
гипотеза Римана для кривых над конечными полями
дзета-функция Римана
инварианты Римана
интеграл Римана
кратный интеграл Римана
обобщенный интеграл Римана
интеграл Римана – Стилтьеса
производная Римана
риманова кривизна
риманова геометрия (многомерное обобщение геометрии)
геометрия Римана (эллиптическая геометрия)
риманова поверхность
риманово пространство
сфера Римана
сферическая геометрия Римана
соответствие Римана – Гильберта
тензор Римана
теорема Римана из теории конформных отображений
теорема Римана об условно сходящихся рядах
теорема Римана об устранимой особой точке
теорема Римана – Роха
условия Коши – Римана
инвариант Римана
леммы Римана-Лебега
матрица Римана
формулы Римана – Зигеля
тета-функции Римана – Зигеля
вектор Римана – Зильберштейна
сумма Римана
псевдориманово многообразие
риманова связность
риманова связность на поверхности.
24 сентября - 513 лет со дня рождения итальянского математика Джероламо Кардано (1501-1576). Отец Кардано был адвокатом и занимал достаточно высокий пост, чтобы оплатить образование своего сына. Джероламо изучал медицину и получил диплом врача. Однако любопытство заставило его изучать астрологию и математику. На протяжении всей его жизни эти три занятия успешно дополняли друг друга. Кардано был известным практикующим врачом и внёс заметный вклад в эту науку, оставив первое детальное описание тифа, нереализованный проект переливания крови и предположение о том, что причинами инфекционных болезней являются живые существа, невидимые глазом из-за малых размеров. Астрология доставила ему неприятности, когда за составление гороскопа Иисуса Христа он провёл несколько месяцев в тюрьме и был вынужден уехать в Рим просить у Папы отпущение грехов.В свободное время Кардано занимался самыми разными вещами: составлял гороскопы живых и мертвых (его услугами как астролога пользовался сам папа), занимался толкованием снов, создавал различные фантастические теории. Наряду с этим его интересовали и вполне серьезные предметы. Так, его книга «О тонких материях» служила популярным учебником по статике и гидростатике в течение всего 17 в. Указаниям Кардано на возможность использования частоты собственного пульса для измерения времени последовал Галилей. Известны рассуждения Кардано о невозможности создания вечного двигателя, о различии между электрическим и магнитным притяжением. Ученый занимался экспериментальными исследованиями и конструированием различных механизмов (всем известна такая деталь, как карданный вал. В его трудах подробно описано множество механизмов, в том числе его собственные изобретения – например, масляная лампа с автоматической подачей масла и кодовый замок). Кардано был страстным любителем азартных игр. « Побочным продуктом » его любви к игре в кости стала книга «Об азартных играх», содержащая начала теории вероятности, формулировку закона больших чисел, некоторые вопросы комбинаторики. Это один из первых серьёзных трудов по комбинаторике и теории вероятностей; в нём, однако, Кардано допустил немало ошибок. В историю криптографии Кардано вошёл как изобретатель несложного шифровального устройства, получившего название «решётка Кардано» (квадрат с вырезанными клетками). Разработал метод обучения слепых, сходный с брайлевским. Кардано внёс значительный вклад в развитие алгебры: его имя носит формула Кардано для нахождения корней кубического неполного уравнения вида x3 + ax + b = 0. Он же первым в Европе стал использовать отрицательные корни уравнений. В действительности Кардано не открывал этот алгоритм и даже не пытался приписать его себе. В своём трактате «Великое искусство» он признаётся, что узнал формулу от Никколо Тартальи, пообещав сохранить его в тайне, однако обещание не сдержал и спустя 6 лет опубликовал упомянутый трактат. Из него учёный мир впервые узнал о деталях замечательного открытия. Кардано также включил в свою книгу ещё одно открытие, сделанное его учеником Лодовико (Луиджи) Феррари: общее решение уравнения четвёртой степени. Кардано также обнаружил, что кубическое уравнение может иметь три вещественных корня (этот факт остался незамеченным даже в трудах Омара Хайяма), причём сумма этих корней всегда равна коэффициенту при х2 с противоположным знаком (одна из формул Виета).Прикладное значение формул Кардано было не слишком велико, так как к этому моменту математики уже разработали численные методы для вычисления корней уравнений любой степени с хорошей точностью; один из таких расчётных алгоритмов («метод двойного ложного положения») разработал и подробно изложил в «Великом искусстве» сам Кардано. Однако открытие нового теоретического метода, неизвестного ни грекам, ни арабам, воодушевило математиков Европы. Оно также стало основой для введения одного из важнейших математических объектов — комплексных чисел. Решить уравнение третьей степени методом Кардано можно, например, здесь:http://integraloff.net/kub_urav/