31 октября - 199 лет со дня рождения выдающегося немецкого математика Карла Теодора Вильгельма Вейерштрасса (1815 — 1897). Вейерштрасс родился в Остенфельде (Германия), в чиновничьей семье и был старшим из четырых детей своих родителей. Мать Вейерштрасса умерла, когда ему было 12 лет.Отец, Вильгельм Вейерштрасс, в 19 лет был школьным учителем, затем работал чиновником. Он был человеком образованным, знал физику и филологические науки, дал детям хорошее знание языков: впоследствии они вели переписку друг с другом не только на немецком, но и на французском и английском языках. Так как в Остенфельде не было подходящей школы для мальчика, то Карла отправили в город Падерборн, недалеко от Мюнстера (главного города Вестфалии), где он учился в гимназии с 1829 по 1834 г. В гимназии господствовали французские порядки поощрения учеников путем воздействия на их честолюбие. Если ученик имел высшие оценки по трем предметам, то в его честь музыкальная капелла исполняла какое-нибудь музыкальное произведение, за каждую следующую высокую оценку – новую вещь. В честь Карла музыка обычно играла четыре раза, так как у него бывало шесть высших отметок, один раз даже семь: всегда по немецкому языку, математика же чередовалась с другими предметами. Только с чистописанием Карл был не в ладах, не смотря на это, его отец надеялся на блестящее будущее сына. Свою первую должность Карл получил всего в 15 лет, нанявшись бухгалтером в продуктовую лавку. Отец стал возлагать на него ещё большие надежды и решил, что сын должен стать чиновником прусского правительства. Для этого требовалось серьёзно изучить бухгалтерский учёт и юриспруденцию.
Вейерштрасс изучал юриспруденцию в Боннском университете, где провёл четыре года за развлечениями (он был неплохим фехтовальщиком) и изучением работ шведского математика Нильса Хенрика Абеля, поэтому он вернулся в отчий дом, не получив диплома. Разочарованный отец вновь отправил его в Бонн, чтобы Карл изучал то, что хочет, но с условием, что на этот раз он получит диплом.
Именно тогда Вейерштрасс познакомился с математиком Кристофом Гудерманном. На его лекциях о степных рядах Вейерштрасс был единственным слушателем. Это знакомство определило будущее Вейерштрасса: Гудерманн интересовался теорий эллиптических функций, созданных Абелем, и поделился с юным Карлом всем, что знал. Кроме того, Гудерманн посоветовал Вейерштрассу выхлопотать себе место школьного учителя: у Карла не было учёной степени, и преподавание позволяло ему хотя бы как-то поправить финансовое положение.
В 1839 году он поступил в университет Мюнстера и в 1841 году получил диплом преподавателя. По рекомендации Гудерманна Вейерштрасс написал статью о разложении эллиптических функций в степенные ряды, которую поняли они только сами. В 1842 году Вейерштрасс уже был преподавателем католической прогимназии в маленьком прусском городке.
Пятнадцать лет, в течение которых Вейерштрасс работал учителем, были самыми плодотворными в его карьере. Они стали доказательством его больших физических и моральным сил. Преподавание не оставляло ему много свободного времени, и ему приходилось заниматься математикой, жертвуя сном. Эти годы Вейерштрасс провёл в изоляции: он не имел возможности ознакомится с математическими публикациями, пообщаться с представителями научного почта, денег не хватало даже на почтовые марки.
Эта изоляция не только не сказалась на его творческих способностях, но и придала его способностям неоспоримую оригинальность. В это время Вейерштрасс создал важнейшие труды, посвящённые аналитическим функцию, кульминацией которых стала основная теорема анализа.
Директор гимназии с уважением относился к его занятиям. Однажды Вейерштрасс утром не явился на урок и его ученики подняли шум в классе. Тогда директор сам пошел на квартиру к Вейерштрассу и обнаружил, что он всю ночь прозанимался математикой и, не заметив, что уже наступило утро, сидел с лампой, продолжая свои размышления.
Навыки учителя в дальнейшем помогли Вейерштрассу стать лучшим преподавателем Германии, а редкое свободное время (чаще всего ночное) он использовал для математических исследований. Кроме математики, он вёл там занятия по физике, ботанике, географии, истории, немецкому языку, чистописанию и гимнастике.
После публикации труда по абелевым функциям в 1854 году Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс стал известен всему миру. В том же году он получил степень почётного доктора Кёнигсберского университета. Два года спустя он был принят на должность преподавателя математики Берлинского университета, а в 1873-1874 годах занял пост ректора. Вейерштрасс сформулировал точные определения предела и непрерывности функций, которые открыли новый этап в истории математики.
С конца 1850-х годов международная известность Вейерштрасса быстро растёт. Этим он обязан великолепному качеству своих лекций. Вот список тематики его курсов:
–Введение в теорию аналитических функций, включающее теорию действительных чисел.
–Теория эллиптических функций, приложения эллиптических функций к задачам геометрии и механики.
–Теория абелевых интегралов и функций.
–Вариационное исчисление.
1861: Вейерштрасс избран членом Баварской академии наук.
1864: назначен ординарным профессором.
1868: избран членом-корреспондентом Парижской академии наук.
1870: знакомится с двадцатилетней Софьей Ковалевской, приехавшей в Берлин для подготовки диссертации. Нежное чувство к своей Sonja Вейерштрасс пронёс сквозь всю жизнь (он так и не женился). Вейерштрасс помогает Ковалевской выбрать тему диссертации и метод подхода к решению, в дальнейшем регулярно консультирует её по сложным вопросам анализа, содействует в получении научного признания.
Ученики Вейерштрасса вспоминали, каким он был для них другом и советчиком – по отношению к Ковалевской эти качества проявились наивысшим образом. Учитель называл свою ученицу своим единственным настоящим другом и сам делился с нею своими раздумьями и сомнениями. Вейерштрасс пользовался огромным уважением и среди профессоров благодаря своему открытому характеру и благожелательному отношению к людям. В 1873 г. ему предложили пост ректора университета.
1881: избран членом Лондонского королевского общества.
1883: после самоубийства мужа Ковалевская, оставшаяся без средств с пятилетней дочерью, приезжает в Берлин и останавливается у Вейерштрасса. Ценой огромных усилий, используя весь свой авторитет и связи, Вейерштрассу удаётся выхлопотать ей место профессора в Стокгольмском университете.
1885: 70-летие прославленного математика торжественно отмечается в общеевропейском масштабе.
1889: Вейерштрасс сильно заболел. Ещё когда Вейерштрассу было только 35 лет, у него появились головокружения. Однажды среди лекции он вынужден был опуститься в кожаное кресло около кафедры, студенты вывели его и он долгое время оставался в постели и очень медленно поправлялся. Такие состояния повторялись у него на протяжении 12 лет, причем он впадал в полную апатию и не мог ничего делать. Врачи называли это «утомлением мозга». Позднее появилось расширение вен, ноги распухали и болели. Читая лекции, он сидел, а кто-нибудь из студентов выписывал формулы на доске. Последние годы жизни Вейерштрасс провел в кресле на колесах.
1891: неожиданно умирает Софья Ковалевская. Потрясённый Вейерштрасс посылает цветы на её могилу и сжигает все письма от Ковалевской (письма от него сохранились и были в начале XX века опубликованы). Состояние Вейерштрасса заметно ухудшается, он редко встаёт, занимается редактированием своего сборника трудов.
Исследования Вейерштрасса существенно обогатили математический анализ, теорию специальных функций, вариационное исчисление, дифференциальную геометрию и линейную алгебру. В математике Вейерштрасс стремился к ясности и строгости. Пуанкаре писал о нём: «Вейерштрасс отказывается пользоваться интуицией или по крайней мере оставляет ей только ту часть, которую не может у нее отнять».
До Вейерштрасса оснований анализа фактически не существовало. Даже Коши, который впервые ввёл стандарты строгости, многое молчаливо подразумевал. Не было теории вещественных чисел — превосходная статья Больцано (1817) осталась незамеченной. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо определения. Отсутствовала полная теория сходимости. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.
Вейерштрасс завершил построение фундамента математического анализа, прояснил тёмные места, построил ряд доказательных контрпримеров (аномальных функций), например, всюду непрерывную, но нигде не дифференцируемую функцию.
Он сформулировал логическое обоснование анализа на основе построенной им теории действительных (вещественных) чисел и так называемого ε-δ-языка. Например, он строго определил на этом языке понятие непрерывности:
Функция f(x) непрерывна в точке x = x0, если для каждого (как угодно малого) ε >0 существует δ>0 такое, что |x – x0| < δ ⇒ |f(x) – f(x0)|< ε.
Одновременно он дал строгое доказательство основных свойств непрерывных функций. Приведенное определение, а также его определения предела, сходимости ряда и равномерной сходимости функций воспроизводятся без всяких изменений в современных учебниках.
Вейерштрасс систематически использовал понятия верхней и нижней грани и предельной точки числовых множеств.
Вейерштрасс доказал, что любая непрерывная функция допускает представление равномерно сходящимся рядом многочленов. Он далеко продвинул теорию эллиптических и абелевых функций, заложил основы теории целых функций и функций нескольких комплексных переменных. Создал теорию делимости степенных рядов.
Вариационное исчисление Вейерштрасс также преобразовал, придав его основаниям современный вид. Он открыл условия сильного экстремума и достаточные условия экстремума, исследовал разрывные решения классических уравнений.
В геометрии он создал теорию минимальных поверхностей, внёс вклад в теорию геодезических линий.
В линейной алгебре им разработана теория элементарных делителей.
Вейерштрасс доказал, что поле комплексных чисел — единственное коммутативное расширение поля действительных чисел без делителей нуля (1872).
Собрание сочетаний Вейерштрасса по большей части состоит из конспектов его лекций. Вейерштрасс занимался их редактировать до самой смерти 19 февраля 1897 года.